奇置換と偶置換の数は同じ

から奇置換して得られる、重複のない全ての配列の集合を、偶置換して得られる重複のない全ての配列の集合をとします。の上に、配列の1番目と2番目を入れ替える写像を与えます。これはからへの単射になっています。もし、が全射でないとすると、が存在します。ここで、の上に、配列の2番目と1番目を入れ替える写像を与えましょう。すると、は奇置換なのでの元です。ここで、明らかにであるので、となりに矛盾します。よっては全単射であり、となります。

間違い等ありましたら柔らかい物腰でご指摘お願いします(-_-)。