一つの認識描像

ディラック場の荷電共役について

電荷$q$を持つ荷電粒子のDirac方程式\[\left[i\gamma^{\mu}\left(\partial_{\mu}+iqA_{\mu}\right)-m\right]\psi=0\]について、粒子と反粒子を入れ替えたとしても同じ形の方程式を満たすことを要請する。つまり、電荷$-q$で同じ質量の粒子が\[\left[i\gamma^{\mu}\left(\partial_{\mu}-iqA_{\mu}\right)-m\right]\psi^{C}=0\]に従うと考えて、$\psi$と$\psi^{C}$の関係を調べる。
まずは、電荷の符号を揃えるため、$\psi$の方程式全体の複素共役を取る:\[\left[-i\left(\gamma^{\mu}\right)^{*}\left(\partial_{\mu}-iqA_{\mu}\right)-m\right]\psi^{*}=0\]次に、以下の関係式(ガンマ行列の関係式の両辺複素共役を取ったもの):\[\left(\gamma^{0}\right)^{*}\left(\gamma^{\mu}\right)^{T}\left(\gamma^{0}\right)^{*}=\left(\gamma^{\mu}\right)^{*}\]\[\left(\gamma^{0*}\right)^{2}=I\]を用いて、以下のように変形する:\begin{align*}
\left[-i\left(\gamma^{\mu}\right)^{*}\left(\partial_{\mu}-iqA_{\mu}\right)-m\right]\psi^{*}
&=\left[-i\left(\gamma^{0}\right)^{*}\left(\gamma^{\mu}\right)^{T}\left(\gamma^{0}\right)^{*}\left(\partial_{\mu}-iqA_{\mu}\right)-m\left(\gamma^{0*}\right)^{2}\right]\psi^{*}\\
&=\left(\gamma^{0}\right)^{*}\left[-i\left(\gamma^{\mu}\right)^{T}\left(\partial_{\mu}-iqA_{\mu}\right)-m\right]\left(\gamma^{0}\right)^{*}\psi^{*}=0
\end{align*}最後の等式に左から$\left(\gamma^{0}\right)^{*}$を掛け、ガンマ行列とディラック場の複素共役を纏めてディラック共役を用いて書くと\[\left[i\left(-\gamma^{\mu}\right)^{T}\left(\partial_{\mu}-iqA_{\mu}\right)-m\right]\bar{\psi}^{T}=0\]
これと\[\left[i\gamma^{\mu}\left(\partial_{\mu}-iqA_{\mu}\right)-m\right]\psi^{C}=0\]を見比べることによって、もし\[C\left(\gamma^{\mu}\right)^{T}C^{-1}=-\gamma^{\mu}\]を満たす荷電共役行列$C$が存在するなら、
\[\left[i\left(-\gamma^{\mu}\right)^{T}\left(\partial_{\mu}-iqA_{\mu}\right)-m\right]\bar{\psi}^{T}=0
\ \to\ C\left[i\left(-\gamma^{\mu}\right)^{T}\left(\partial_{\mu}-iqA_{\mu}\right)-m\right]\bar{\psi}^{T}=0\]
として\begin{align*}
C\left[i\left(-\gamma^{\mu}\right)^{T}\left(\partial_{\mu}-iqA_{\mu}\right)-m\right]\bar{\psi}^{T}&=
\left[iC\left(-\gamma^{\mu}\right)^{T}C^{-1}C\left(\partial_{\mu}-iqA_{\mu}\right)-mC\right]\bar{\psi}^{T}\\
&=\left[i\gamma^{\mu}\left(\partial_{\mu}-iqA_{\mu}\right)-m\right]C\bar{\psi}^{T}\\
&\equiv \left[i\gamma^{\mu}\left(\partial_{\mu}-iqA_{\mu}\right)-m\right]\psi^{C}=0
\end{align*}が成立することが分かる。纏めると、\[C\left(\gamma^{\mu}\right)^{T}C^{-1}=-\gamma^{\mu}\]を満たす$C$の存在の下で\[\left[i\gamma^{\mu}\left(\partial_{\mu}+iqA_{\mu}\right)-m\right]\psi=0\]を同値変形すると\[\left[i\gamma^{\mu}\left(\partial_{\mu}-iqA_{\mu}\right)-m\right]C\bar{\psi}^{T}=0\]を得ることが分かる。$\psi^{C}$という反粒子に対応する場を\[\left[i\gamma^{\mu}\left(\partial_{\mu}-iqA_{\mu}\right)-m\right]\psi^{C}=0\]が成り立つものとして定義すれば、粒子と反粒子ディラック場は\[\psi^{C}\equiv C\bar{\psi}^{T}= C\left(\gamma^{0}\psi\right)^{*}\]なる関係式で結ばれなければならないということである。すると、気になるのはそのような$C$が実際に存在するのかというものであるが、これは表示を固定すれば見つけることが出来る。ガンマ行列の表示としてディラック表示: \gamma^{0}=\begin{pmatrix}  I & 0\\  0 & I\end{pmatrix},\ \gamma^{i}=\begin{pmatrix}  0 & \sigma^{i}\\  -\sigma^{i} & 0\end{pmatrix}\ (i=1,2,3)をとると\[C=i\gamma^{2}\gamma^{0},\ C^{-1}=i\gamma^{0}\gamma^{2}=-i\gamma^{2}\gamma^{0}\]とできる。これは、ガンマ行列の転置行列が$\mu=0,2$のときは変わらず、$\mu=1,3$のときは(-1)だけ異なるので、\begin{align*}
&(\mu=0,2)\quad C\left(\gamma^{\mu}\right)^{T}C^{-1}=-\gamma^{2}\gamma^{0}\left(\gamma^{\mu}\right)^{T}\gamma^{0}\gamma^{2}
=-\gamma^{2}\gamma^{0}\gamma^{\mu}\gamma^{0}\gamma^{2}=-\gamma^{\mu}\quad(\text{∵どちらかと交換するとき反交換})\\
&(\mu=1,3)\quad C\left(\gamma^{\mu}\right)^{T}C^{-1}=-\gamma^{2}\gamma^{0}\left(\gamma^{\mu}\right)^{T}\gamma^{0}\gamma^{2}
=\gamma^{2}\gamma^{0}\gamma^{\mu}\gamma^{0}\gamma^{2}=-\gamma^{\mu}\ \ \quad(\text{∵どちらとも反交換})
\end{align*}よって要求された性質\[C\left(\gamma^{\mu}\right)^{T}C^{-1}=-\gamma^{\mu}\]を満たしていることが分かる。