とても楽しかったです。数学が好きになってしまいました。というか、物理に戻れなくなった・・・数学楽しい・・・。
前提とされている知識は、理学部の学生なら一年次に履修するレベルの線形代数と、いわゆる「解析入門」と書かれた教科書くらいの知識だと思います。集合論は、本を読むのに必要なものは最初と付録についているので、適宜参照しつつ読み進めることが出来ます。もちろん多少なりとも位相に関するイメージを事前に持っておくと理解を助けますが、必要ではありません。
正直、最初はやや難しく感じました。特に、新しい概念がたくさん出てくるので、定義をよく読んで、あとで出てきたら何回も見直すということを繰り返すことになります。初めのうちは例えば定理に「有限加法族」と出てきたときに、その言葉の定義を思い出して性質を確認しても、言葉の意味は分かるけどなんとなく感覚的には分からないというか、腑に落ちないことがあります。それでも諦めずに、出てくるたびに定義を見直して証明を追っていくと、その性質が分かってきて、言葉の定義も腑に落ちるようになってきます。一般的な当たり前のことを言っているだけですが、数学の勉強では特にこの現象を強く実感しました。一回読んで分からなくても、一行ずつ調べていって、どこが分からなくて何が分かればその箇所が分かるのかを知り、必要に応じて前に戻ったり考察したりネットや他の本で調べたりすると必ず分かるという風に感じました。この本を読んでいる途中に他の本を引っ張ってくる回数は非常に少なく、明らかな自分の知識不足であった点を除けばこの本一冊だけで読み進めていけたと思います。
数学科でない学生を対象にしているだけあって説明が丁寧で、ゆっくり理解することで数学の面白さというか、論理的構造物としての美しさを、浅学ながら感じました。数学科以外の人は、一意性を気にしたり極限を厳密に扱ったりということはそこまでないのではないでしょうか(僕が適当だっただけ？)。数学というのは公理系があって定義があって、その言葉の定義と論理的推論によって定理が生まれ、多様な世界が構築されていくもので、その構築は一切の論理的飛躍を持たず、論理に対して最高にストイックで謙虚なものだと思います。だから、一意性は必ず調べられるし、無限という概念も慎重に議論される。こうして数学を言葉の定義と推論の体系から導かれる精緻な構造物だとみれば、なんというか安心感さえ感じます。とてもスッキリしているんですよね。この本が分かりやすかったからこそ、ルベーグ積分というもののみに限定されない数学の部分を感じ取ることが出来たように思います。
自分は、なぜか突然函数解析をやりたくなるという、論理的に説明できないモチベーションでこの本に手を出したのですが、物理学科の学生として当たり前のように使っていた積分と極限操作の交換やFourier変換などを詳しく理解できて、見える世界が大きく変わりました。もし少しでも読んでみたいと思っているのであれば、ゆっくり少しずつでも良いので読んでみることを強くお勧めします。
私はまだまだ数学赤ちゃんなので、上に書いてあることは全くの的外れである可能性もありますけどね(^_^;)
