指数2の部分群は正規部分群

群 $G$ の指数2の部分群 $H$ というのは、 $G/H$ が二つの元からなるということです。例えば、元 $x\in G$ が定める同値類は $xH=\{xh\in G\ |\ h\in H \}$ です。2つの同値類は、そのうちの一つの元だけでも共通で持っていれば完全に同一で、つまり異なるなら共有される元はありません。なので、指数が2であるという条件から、うまく $x$ を選べば $G=H\oplus xH$ と書くことが出来ます。一方は代表元として単位元をとれるもので、もう一方はそれと異なる同値類を与える $x$ によるものです。

さて、ここから $H$ が正規部分群になることを見ましょう。つまり、 $gHg^{-1}=H$ が任意の $g\in G$ に対して言えることを示します。任意の $g\in G$ は、直和分解になっている $H$ または $xH$ のいずれかに属していることになりますので、それぞれの場合を見てみましょう。

$g\in H$ のとき：このときは、 $gH=H$ となります。 $H$ は部分群なので演算で閉じているからです。逆の $Hg=H$ も成り立つので、結局 $Hg=gH\ \to\ gHg^{-1}=H$ となります。

$g\in xH$ のとき：このとき、 $x^{-1}g\in H$ です。この条件を用いて、任意の $h\in H$ に対して $ghg^{-1}\in H$ となることを示します。そのために、逆を仮定して矛盾を導きましょう。仮に $ghg^{-1}\in xH$ とすると、 $x^{-1}ghg^{-1}\in H$ となります。この時、最初の2元の積 $x^{-1}g$ は上の条件から $H$ に属するので、 $x^{-1}gh\cdot g^{-1}$ の前半は $H$ に属します。さらに、全体の積も $H$ に属するので、 $g^{-1}\in H$ が分かります。 $H$ は部分群で逆元を持っているので、 $g\in H$ が分かりますが、これは $g\in xH$ であることに矛盾します。なので、 $ghg^{-1}\in H$ が分かります。ここから、 $\ gHg^{-1}=H$ となります。